第三章 多维随机变量及其分布
学微积分时，一般是先学一元微积分，再介绍多元函数，再介绍多元微积分。学习的重点还是二元微积分，因为学会从一元推广到二元，就能够再推广到多元。
多维随机变量的学习也是如此，教材也主要介绍了二维随机变量。在学多维随机变量的时候，很多概念和一维随机变量是类似的，我们关注的重点应该一维随机变量推广到多维随机变量的转化思想。
第一节 二维随机变量
这一节全部在讲一维随机变量的概念在二维中是什么样子的。其实只要理解二元函数和一元函数，这些概念就很容易对应过去。
分布律变成了描述$P\{X = x_i, Y = y_i\}$，画出来的表格应该是一个二维的表格：
| Y\X | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 1 | 1/4 | 1/4 |
| 2 | 1/4 | 1/4 |
概率密度函数则是一个二元函数$f(x,y)$
分布函数对于离散型变量，是一个双层求和；对于连续型变量，则是一个二重积分。
可以看出，所有概念的迁移都非常自然，我们快点进入下一小节。
第二节 边缘分布
某一天，我们兴冲冲地求出了一个二维连续型随机变量的概率密度函数，就比如上一章提到的打靶打中哪个位置。
突然，有个人把靶子重新画了一下。他把靶子涂上了斑马线一般的红白相间条纹，之后说：“现在，越靠中间的直线，分数越高。‘靶心’是中间那条红线。”
也就是说，现在我们不关心我们在靶子上的y轴打在哪个位置，只关心x轴打在哪个位置。我们现在需要求的是一个一维随机变量，但我们只有二维随机变量的概率密度函数啊！
这时候，可以很自然地想到，忽略y轴，就是y可以取任意值。不妨做积分$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy$。这样求出来的概率密度函数就只含x了。
边缘分布函数、边缘分布律、边缘概率密度等概念就是按照上述方法，把一个多维连续型随机变量去掉某维后，得到的结果。边缘分布函数就是直接把$\infty$代入式子，边缘分布律就是一行或者一列的数值求和，边缘密度就是求一个R上的广义积分。说实话，我感觉这个概念很容易理解，却又没看到什么实际应用，太无聊了。快进入下一小节吧。
第三节 条件分布
本节我们老师没讲，也不做为考试内容，但我还是稍微谈谈我的理解。
在第一章里，曾提到了条件概率。但那个时候我们只会用语言来描述一个随机事件。而现在的条件分布，是对一个随机变量求条件概率。理论上其中使用的方法是一样的。
本节并没有的新的内容，只是把第一章和第二章概念进行了一些排列组合。只要能看懂$F_{X|Y}\{x|y\}$的意思是$P\{x \leq X | y = Y\}$，就基本能搞懂本节。
第四节 相互独立的随机变量
和第一章一样，介绍了条件分布后，现在又开始介绍随机变量的独立性了。
还是和第一章类似的一个式子，若$F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$，则随机变量$X,Y$独立。
对于分布律和概率密度，也有类似形式的式子。
和之前一样，独立性就是一个十分简单的概念。给二维随机变量概率密度、分布律或分布函数，能判断两个变量是否独立，就算是学完了这一小节了。
第五节 两个随机变量的函数的分布
和第二章最后一小节一样，这一小节也是讲随机变量的函数的分布，只不过我们讨论的对象是两个随机变量。
虽然我们有两个变量，但本章讨论的函数只有一个值（或者说我们只有一个函数）。也就是说，两个变量$X,Y$经过函数变成了$Z$后，原来的二维随机变量就变成了一维的了。
本章的内容说是概率论的内容，但本质上是对一个概率密度函数的操作，内容实际上是二元微积分的内容。
$Z = X + Y$时，$f_{X+Y}(Z) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x, z - x)dx$
$Z = XY$时,$f_{XY}(Z) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x, \frac{z}{x})dx$
$Z = Y/X$时,$f_{Y/X}(Z) = \int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x, xz)dx$
其中$Z = X + Y, Z = XY$时，$x,y$是对称的，对应式子的x也可以被替换成y。
以下内容假设XY独立。
$Z = max\{X, Y\}$时，$F_Z(z) = P\{Z \leq z\} = P\{X\leq z\}P\{Y\leq z\} = F_X(x)F_Y(y)$
$Z = min\{X, Y\}$时，$F_Z(z) = P\{Z \geq z\} = P\{X\geq z\}P\{Y\geq z\} = 1-(1-F_X(x))(1-F_Y(y))$
对于这一节的题目，直接把条件代入公式，求积分即可。值得注意的是，上面的式子虽然是负无穷积到正无穷，但实际上很多积分在变量代换后是有一个上下界的。一定要画好图，搞清楚每个变量的取值范围，再写积分。求完结果最好全部把结果加一下，看和是否为1。
本章总结
这一章完全是对已学知识的应用、拓展。本章涉及了第二章一维随机变量的有关概念，并于第一节的条件概率、独立性结合，得到了条件分布、独立随机变量等概念。其中很多地方还需要用到微积分的知识。
仔细看来，这一章没什么新的内容。倒是多元微积分很久没用过了，可以借此机会复习一下。