大家或许在课本或故事里接触过“熵”这个概念:“熵表示混乱程度。熵只会越变越多，熵增会让宇宙最终走向灭亡”。“熵”也常常出现在机器学习的概念中，比如分类任务会使用到一种叫做“交叉熵”的公式。
那么，“熵”究竟是什么呢？熵的数学单位和意义并没有生活中的其他事物那么直观。我们可以说一元一元的钱、一吨一吨的铁、一升一升的水，却很难说出一单位的熵表示什么。在这篇文章里，我会从非常易懂的例子中引入熵这个概念，并介绍和熵相关的交叉熵、相对熵（KL散度） 等概念，使大家一次性理解熵的原理。
熵的提出——尽可能节省电报费
假设现在是一个世纪以前，人们用电报来传输信息。为了刊登天气预报，报社每天会从气象中心接收电报，获知第二天的天气。这样的电报应该怎么写呢？
我们先假设明天的天气只有“好”和“坏”两种情况。好天气，就是晴天或多云；坏天气，就是刮风或下雨。这样，电报就可以写成“明天天气很好”或者“明天天气不好”。
这种电报的描述确实十分清楚。但是，电报是要收费的——电报里的字越多，花费的钱越多。为了节约成本，我们可以只在电报里写一个字。天气好，就发一个“好”；天气差，就发一个“坏”。由于报社和气象中心已经商量好了，这一条电报线只用来发送明天的天气这一种信息，所以“好”和“坏”只是指代明天的天气，不会有任何歧义。通过这种方式，发电报的成本大大降低了。
但是，这种方式还不是最省钱的。通讯其实使用的是二进制编码。比如如果用两个二进制位，可以表示00, 01, 10, 11这$2^2$种不同的信息。而汉字有上万个，为了区分每一个汉字，一般会使用16个二进制位，以表示$2^{16}=65536$个不同的汉字。要传输一个汉字，就要传输16个0或1的数字。而要表示明天的天气，最节省的情况下，只要一个二进制位就好了——0表示天气不好，1表示天气很好。
这样，我们得出了结论：最节省的情况下，用1位二进制数表示明天的天气就行了。1位二进制数有单位，叫做比特（bit）。因此，我们还可以说：明天天气的熵是1比特。没错，熵的意思就是最少花几比特的二进制数去传递一种信息。发明出“熵”的人，很可能正在思考怎么用更短的编码去节省一点电报费。
熵与平均编码长度
明天的天气只有两种可能：好、坏。这一情况太简单了，以至于我们可以脱口而出：这个问题的熵是1。
可当问题更复杂、更贴近实际时，熵的计算就没那么简单了。明天的天气，可能有4种情况：
这个问题的熵是多少呢？
刚刚我们也看到了，1个二进制数表示2种情况，2个二进制数表示4种情况。现在有4种情况，只要两位编码就行了：
因此，这个问题的熵是2。
但有人可能对这种编码方式感到不满：“这种编码太乱了，每个二进制位都没有意义。我有一种更好的编码方式。”
确实如此。要表示四种情况，不是非得用2位的编码，而可以用1-3位的编码分别表示不同的信息。可是，这两种方案哪个更节省一些呢？我们不能轻易做出判断。假如大部分时候都是晴天，那么用第二种方案的话很多时候只需要1位编码就行了；而假如大部分时候都是下雨或下雪，则用第一种方案会更好一些。为了判断哪种方案更好，我们还缺了一个重要的信息——每种天气的出现概率。
假如我们知道了每种天气的出现概率，就可以算出某种编码的平均编码长度，进而选择一种更优的编码。让我们看一个例子。假设四种天气的出现概率是80%/10%/5%/5%，则两种编码的平均长度为：
用每种天气的出现概率，乘上每种天气的编码的长度，求和，就可以算出该编码下表示一种天气的平均长度。从结果来看，第二种编码更好一些。事实上，第二种编码是这种概率分布下最短的编码。
只有四种天气，我们还可以通过尝试与猜测，找出最好的编码。可是，如果天气再多一点，编码方式就更复杂了。想找出最好的编码就很困难了。有没有一种能够快速知道最优平均编码长度的方式呢？
让我们从简单的例子出发，一点一点找出规律。假如四种天气的出现概率都是25%，那问题就很简单了，直接令每种天气的编码都是2位就行了。由于每种天气的出现概率都相等，让哪种天气的编码长一点短一点都是不合理的。类似地，假如有八种天气，每种天气的概率都是12.5%，那么应该让每种天气都用3位的编码。
这里的“2位”、“3位”是怎么算出来的呢？很简单，对总的天气数取对数即可。有4种天气，就是$log_24=2$；有8种天气，就是$log_28=3$。
现在，让问题再稍微复杂一点。假如还是晴天、刮风、下雨、下雪这四种天气，每种天气的概率都是25%。现在，报社觉得区分下雨和下雪太麻烦了，想把下雨或下雪当成一种出现概率为50%的天气来看待。这种情况下的最优编码是什么呢？
原来下雨的编码是10，下雪的编码是11。既然它们合并了，把编码也合并一下就行。10和11，共同点是第一位都是1。因此，合并后的编码就是1。这样，我们可以得到新问题下的编码方案。刚刚的四种天气均分的编码方案是最优的，那么这种把两种编码合并后的方案也是最优的。
晴天和刮风的编码长度是2。这个很好理解。25%是4种天气平均分的概率，因此编码长度是$log_24=2$。下雨/下雪的编码长度是1，这个又是怎么得到的呢？50%，可以认为是2种天气平均分的概率，这时的编码长度是$log_22=1$。
由于一般我们只知道每种天气的概率，而不太好算出每种天气被平均分成了几份。因此，我们可以把上面两个对数运算用概率来表达。
更一般地，假设某种天气的出现概率是$P$。我们可以根据规律猜测，当这种天气的编码长度是$-log_2P$时，整个编码方案是最优的。事实上，这个猜测是正确的。
我们来算一下最优编码方案下的平均编码长度，看看每次接收天气预报的电报平均下来要花几个比特。假设第$i$种天气的出现概率是$P(i)$，那么最优平均编码长度就是：
这就是我们经常见到的熵的计算公式了。没错，上一节我们对于熵的定义并不是那么准确。熵其实表示的是理想情况下，某个信息系统的最短平均编码长度。
在这个公式里，由于被累加的情况是离散的，我们使用了求和符号。对于连续的情况，要把求和变成求积分。
这个定义有几个要注意的地方。首先，熵是针对某个信息系统的平均情况而言的。这说明，用熵来描述的信息必须要能够分成许多种，就像很多种天气一样。同时，每种具体的信息都得有一个出现概率。我们不是希望让某一次传输信息的编码长度最短，而是希望在大量实验的情况下，令平均编码长度最短。
另外，为什么要说“理想情况下”呢？试想一下，假如有6种天气，每种天气的出现概率相等。这样，每种天气都应该用$log_26$位编码来表示。可是，$log_26$并不是一个整数。实际情况中，我们只能用2~3位编码来表示6种天气。由于编码长度必须是整数，这种最优的编码长度只是说理论上成立，可能实际上并不能实现。
求解最优整数编码的算法叫做“哈夫曼编码”，这是一个经典的算法题。感兴趣的话可以查阅有关资料。
推而广之，熵除了指编码长度这种比较具体的事物以外，还可以表示一些其他的量。这个时候，“编码长度”就不一定是一个整数了，算出来的熵也就更加有实际意义。因此，与其用“无序度”、“信息量”这些笼统的词汇来概括熵，我们可以用一些更具体的话来描述熵：
对于一个信息系统，如果它的熵很低，就说明奇奇怪怪的信息较少，用少量词汇就可以概括；如果它的熵很高，就说它包括了各式各样的信息，需要用更精确的词汇来表达。
最后，再对熵的公式做一个补充。一般情况下，算熵时，对数的底不是2，而是自然常数e。由换底公式
可知，对数用不同的底只是差了一个常数系数而已，使用什么数为底并不影响其相对大小。在使用熵时，我们也只关心多个熵的相对大小，而不怎么会关注绝对数值。
以2为底时，熵的单位是比特。以e为底时，熵的单位是奈特（nat）。
用交叉熵算其他方案的平均编码长度
理解了熵的概念后，像交叉熵这种衍生概念就非常好理解了。在学习所有和熵有关的概念时，都可以把问题转换成“怎么用最节省的编码方式来描述天气”。
假设电报员正在和气象中心商量天气的编码方式。可是，这个电报员刚来这个城市不久，不知道这里是晴天比较多，还是下雨比较多。于是，对于晴天、刮风、下雨、下雪这四种天气，他采用了最朴素的平均法，让每种天气的编码都占2位。
大概100天后，电报员统计出了每种天气的出现频率。他猛然发现，这个城市大部分时间都在下雨。如果让下雨的编码只占1位，会节省得多。于是，他连忙修改了编码的方式。
这时，他开始后悔了：“要是早点用新的编码就好了。两种方案的平均编码长度差了多少呢？”假设各种天气的出现概率如下，我们可以计算出新旧方案的平均编码长度。
就像计算熵一样，我们来用公式表示一下这个不那么好的平均编码长度。之前，电报员为什么会都用2位来表示每一种天气？这是因为，他估计每种天气的出现概率都是25%。也就是说，在算某一个实际概率分布为$P$的信息系统时，我们或许用了概率分布$Q$去估计$P$。在刚刚那个问题里，$Q$就表示所有天气的出现概率相等，$P$就是雨天较多的那个实际概率分布。这样，较差的平均编码长度计算如下：
这是不是和熵的公式
很像？没错，这就是交叉熵的公式。交叉熵表示当你不知道某个系统的概率分布时，用一个估计的概率分布去编码得到的平均编码长度。$-log_2Q(i)$表示的是每一条信息的编码长度，由于编码长度是由我们自己决定的，只能用估计的分布来算，所以它里面用的是$Q$这个分布。而算期望时，得用真实的概率分布$P$。因此，这个式子外面乘上的是$P(i)$。
交叉熵有一个很重要的性质：交叉熵一定不小于熵。熵是最优的编码长度，你估计出来的编码方案，一定不会比最优的更好。所有交叉熵的应用基本上都是利用了这一性质。
在机器学习中，我们会为分类任务使用交叉熵作为损失函数。这正是利用了交叉熵不比熵更大这一性质。让我们以猫狗分类为例看看这是怎么回事。
在猫狗分类中，我们会给每张图片标一个one-hot编码。如果图片里是猫，编码就是[1, 0]；如果是狗，编码就是[0, 1]。one-hot编码，其实就是一个概率分布，只不过某种事件的出现概率是100%而已。可以轻松地算出，one-hot编码的熵是0。
机器学习模型做分类任务，其实就是在估计的one-hot编码表示的概率分布。模型输出的概率分布就是交叉熵公式里的$Q$，实际的概率分布，也就是one-hot编码，就是交叉熵公式里的$P$。由于熵是0，交叉熵的值一定大于等于0。因此，交叉熵的值可以表示它和熵——最优的概率分布的信息量——之间的差距。
用KL散度算方案亏了多少
用交叉熵算出旧方案的平均编码长度后，电报员打算统计一下旧编码浪费了多少编码量。既然熵是最优编码的编码长度，那么交叉熵减去熵就能反映出旧编码平均浪费了多少编码长度。这个计算过程如下：
可以总结出，如果我们还是用分布$Q$去估计分布的$P$的话，则这其中损失的编码量可以用下面的公式直接计算。
这个公式描述的量叫做相对熵，又叫做KL散度。KL散度的定义非常易懂，它只不过是交叉熵和熵的差而已，反映了一个分布与另一个分布的差异程度。最理想情况下，$P=Q$，则KL散度为0。
当然，KL散度不是一个距离指标。从公式中能够看出，$D_{KL}(P||Q)\neq D_{KL}(Q||P)$，这个指标并不满足交换律。
KL散度常用来描述正态分布之间的差异。比如VAE（变分自编码器）中，就用了KL散度来比较估计的分布和标准正态分布。计算正态分布间的KL散度时，我们不用从头推导，可以直接去套一个公式。
设一维正态分布$P, Q$的公式如下：
则KL散度为：
在看计算机方向的论文时，如果碰到了KL散度，我们不需要深究其背后的数学公式，只需要理解KL散度的原理，知道它是用来做什么的即可。
总结
在各个学科中，都能见到“熵”的身影。其实，大部分和熵有关的量都是在最基本的熵公式之上的拓展。只要理解了熵最核心的意义，理解其他和熵相关的量会非常轻松。希望大家能够通过这篇文章里的例子，直观地理解熵的意义。
参考资料
我的这篇文章基本照抄了三篇介绍熵的文章。这三篇文章写得非常易懂，强烈推荐阅读。
有关KL散度的推导可以参见这篇博文：